Sembla que les veritats de la Matemàtica exigeixen fortament el realisme d'objectes inmaterials intel·ligibles eterns (o atemporals)... almenys els matemàtics. I també sembla que això depèn del es podria anomenar avui "Concepción realista de la Verdad".
Hi ha alguna manera d'evitar la "Concepción realista de la verdad"? És a dir, ¿pot ser que una proposició sigui verdadera sense que tingui referent, o sigui, sense que es refereixi a cap objecte existent?
Una observació que crec que és més o menys correcta: totes les proposicions de la Matemàtica es poden reduir, o bé a axiomes (de cert sistema axiomàtic) o bé a proposicions hipotètiques, és a dir, del tipus "si A llavors B". Al ser aquesta una proposició de la Matemàtica, segur que serà analítica, en el sentit que B es dedueix exclusivament de A i dels axiomes i regles de transformació acceptats prèviament. És a dir, exclusivament de coses acceptades prèviament. És a dir, tot el que pugui dir B ja estava contingut en coses acceptades prèviament. Per exemple: el fet que els tres angles d'un triangle sumin 180º depèn del fet que estiguem en una geometria plana. Llavors hi ha dues postures per mirar-se la qüestió:
1- o bé, mitjançant els axiomes correctes hem descobert certa propietat d'un objecte ideal existent com és un triangle; els axiomes i la lògica no són més que eines per explorar el món matemàtic igual que un astrònom utilitza el telescopi per explorar l'univers.
2- o bé simplement hem extret les conseqüències lògiques del que ja havíem acceptat d'entrada. ¡El fet que els tres angles d'un triangle sumin sempre 180º ja està, de fet, contingut implícitament en les propietats del pla, l'únic que hem fet ha estat fer-ho més evident! El problema no està en el fet que existeixi un triangle ideal, el problema està en el fet que nosaltres tinguem la facultat d'imaginar una cosa com una geometria plana (i, de fet, sabem que l'home pot imaginar coses bastant més interessant que un pla...).
La segona de les anteriors postures s'aproparia, em sembla, al positivisme. Cap de les dues postures és concloent, però és que la cosa no s'acaba aquí: resulta que la Matemàtica ha avançat molt aquest segle passat i ja es parla de "Meta-matemàtica"; en concret, em refereixo al famós teorema d'incompletitud de Gödel. Cap a quin cantó inclina la balança aquest resultat? Jo no puc parlar gaire, ja que no he estudiat (i el que em falta!) el teorema en rigor. Però pel que bonament he entès, i també del fet que el propi Gödel era un platònic convençut, es pot deduir en principi que la balança s'inclinaria cap a la postura 1. En efecte: el teorema bàsicament demostra que la Veritat no depèn de la "demostrabilitat". No cal que hi hagi uns axiomes dels quals deduir un teorema perquè aquest sigui verdader. El que he dit a dalt és fals. Avui sabem que segur que hi ha Veritats matemàtiques tals que "superen" els sistemes que les permeten expressar. El món ideal matemàtic reivindica el seu status d'existent independent.
Acceptem la derrota? Un teorema que en principi demostrava una limitació (a l'hora de construir sistemes lògics consistents complets) ara s'erigeix en defensa de l'existència del món matemàtic.
Però, un moment. El fet que hi hagi proposicions verdaders no demostrables no ens ha de fer creure, per si sol, que ja existeix qualsevol cosa de la qual se'n pugui fer una proposició matemàtica. Tota la geometria, així com tot el càlcul, (és a dir, tota la matemàtica pràctica, i per descomptat tota la que se sabia en temps de Plató) surt, a efectes pràctics, perfectament demostrada a partir de certs conjunts d'axiomes acceptats per convenció. Res no ens diu que hagin de ser triangles o cercles o números naturals o infinits, els que "existeixin". Què és el que "existeix", realment? El següent moviment és, per mi, aquest: no ens hem de creure ni tan sols els axiomes. El teorema (d'incompletitud) de Gödel no demostra que "tal cosa" existeix independentment de la nostra ment, sinó que "alguna cosa" existeix independentment de la nostra ment, però no sabem què. Qualsevol intent de "captar-ho", d'"atrapar-ho", de "domesticar-ho", o com es vulgui dir, serà infructuós.
Ara tornem a Plató. Realment podem dir que està tan lluny això que acabem de dir del seu pensament? És que potser no era en Plató essencial el fet que les Idees no es deixaven reduir a res d'aquest món, res que poguessim veure escrit en un paper o poguessim percebre sensiblement per qualsevol altre mitjà? Traduïm nóesis per comprensió "intuitiva", i ell mateix adment que no s'hi pot arribar, a les Idees, mitjançant cap deducció, ja que són Principis no-hipotètics. No estic dient que darrera de Plató hi hagués la intuició del teorema de Gödel, evidentment... però sí que darrera del que tothom accepta com a conegut hi ha coses pressuposades de forma inconscient (sobre el que és bo, el que és just, sobre les veritats matemàtiques...) i que quan ens posem a examinar-ho resulta que les coses són més complexes del que semblava.
Per acabar una petita reflexió: si el problema en Plató fos que el nostre coneixement és imperfecte, i necessitessim contemplar les Idees per saber millor (o per saber-ho i punt) el que són les coses, per saber distingir millor el just de l'injust, el bell del lleig, etc, ..., llavors, ¿com podem anomenar a les idees amb noms de coses conegudes? ¿Com sabem que hi ha una "idea de bo", si no sabem què és el bé? En rigor les hi hauríem de posar noms neutres, com "idea X", "idea Y", ... Potser: la contemplació de les Idees no ens fa millors jutges, o millors polítics, o millors artistes; ens fa filòsofs i punt.
